Processus Stochastiques Cours et Exercices Corrigés

Ce cours, enseigné à l’Université de Montréal, s’adresse aux étudiants
de licence (ou baccalauréat selon les pays) en mathématiques, en géni
e et en sciences en général, naturelles, économiques ou de gestion, qu
i veulent approfondir la théorie des probabilités.
On y traite principalement de chaînes de Markov qui servent à modélise
r les changements d’état aléatoires au cours du temps, discret ou cont
inu, de systèmes à espace d’états fini ou dénombrable qui ont la propr
iété remarquable d’être sans mémoire. Il y est aussi question de proce
ssus de renouvellement qui ne possèdent pas nécessairement cette propr
iété, et de martingales qui ont la propriété supplémentaire que l’espé
rance du changement entre deux instants quelconques est nulle. Enfin,
on y présente le mouvement brownien qui a été introduit pour décrire l
e déplacement d’une particule en suspension et qui est utilisé aujourd
’hui dans de nombreux domaines.
L’emphase est mise sur les exemples, notamment en actuariat avec l’arr
ivée d’accidents au hasard dans le temps, en biologie avec des modèles
de reproduction de populations, en finance avec le cours d’un actif,
en théorie des jeux avec le modèle de la ruine du joueur et en recherc
he opérationnelle avec des files d’attente et des modèles de fiabilité
. Les principaux résultats théoriques, dont le fameux théorème ergodiq
ue sur le comportement à long terme d’une chaîne de Markov, sont démon
trés à la fin des chapitres pour les plus exigeants.
Le cours comporte 114 exercices et leurs corrigés détaillés.
Au sommaire:
1: Chaînes de Markov à temps discret: Introduction; Exemples; Définiti
ons; Méthode de conditionnement; Processus de branchement; Classificat
ion des états; Théorème ergodique et distribution stationnaire; Démons
trations; Annexe; Exercices. 2: Chaînes de Markov à temps continu: Des
cription générale; Chaînes à espace d'états fini; Processus de Poisson
; Processus de mort; Processus de naissance et de mort; Distribution s
tationnaire et théorème ergodique; Démonstrations; Exercices. 3: Proce
ssus de renouvellement: Description générale; Théorèmes de renouvellem
ent; Distributions limites; Processus semi-markovien; Moyennes tempore
lles limites; Démonstrations; Exercices. 4: Introduction aux martingal
es: Définitions et exemples; Martingale arrêtée; Exercices. 5: Introdu
ction au mouvement brownien: Définitions et exemples; Mouvement browni
en géométrique; Exercices. 6: Corrigés des exercices: Corrigés du chap
itre 1 à 5.