Analyse complexe : un regard analytique et géométrique enrichi de 230 exercices corrigés

Organisé en quatre chapitres, il reflète un point de vue qui se veut a
utant géométrique qu’analytique (mais aussi culturel) et se fixe pour
objectif de mettre en lumière le rôle transverse que l’analyse complex
e et l’analyse harmonique en deux variables jouent depuis maintenant p
lus de deux siècles tant en mathématiques (toutes spécialités confondu
es) qu’en physique théorique ou en ingénierie.
Du fait de la diversité des thèmes avec lesquels il interfère (géométr
ie analytique ou algébrique, théorie des nombres, théorie des opérateu
rs, automatique et traitement de l’information, etc.), pareil champ co
nstitue en effet un ciment «unificateur», assise de toute formation sc
ientifique généraliste.
L’ouvrage entend aussi poser les tout premiers jalons de l’analyse com
plexe en plusieurs variables. Les 230 exercices corrigés émaillant le
texte illustrent le contenu de l’ouvrage en même temps qu’ils l’enrich
issent. Ils ont été proposés en travaux dirigés ou comme textes de pro
blèmes et certains sont inspirés des recherches de l’auteur ou reliés
à des questions très actuelles.
Le lecteur se trouvera ainsi entraîné dans une captivante «promenade»
vers l’univers fascinant des fonctions classiques: la fonction gamma d
’Euler, la fonction zêta de Riemann, la fonction d’Airy, les sommes de
séries de Dirichlet et leur prolongement, etc.
Au sommaire:
- Chapitre 1: Le plan complexe et les formes différentielles dans le p
lan: Le plan complexe et ses compactifications; Formes différentielles
dans un ouvert du plan complexe; Intégration des formes différentiell
es; Formes localement exactes et chemins continus.
- Chapitre 2: Holomorphie et analyticité: Fonctions holomorphes: plusi
eurs points de vue; Formules de Cauchy et analyticité; Les inégalités
de Cauchy et leurs conséquences.
- Chapitre 3: Singularités isolées, méromorphie et théorèmes d'approxi
mation: Singularités isolées des fonctions holomorphes; Types de singu
larités isolées, méromorphie.
- Chapitre 4: Harmonicité, sous-harmonicité, positivité: Sous-harmonic
ité et harmonicité; Autour du problème de Dirichlet; Formules de Jense
n et Poisson-Jensen; Corrigés des exercices du chapitre 4.