Groupes algebre et géometrie, tome 3: Surfaces de Riemann, equation de Halphen et groupes polyédraux

Dans ce tome 3 de Groupes, Algèbres et Géométrie, les auteurs se penchent une nouvelle fois sur les groupes polyédraux, vus ici comme groupes de Galois entre corps de fractions rationnelles. Le contexte du livre est la théorie des corps de fonctions algébriques d'une variable et des surfaces de Riemann. Les bases de ces théories sont donc développées, en insistant sur le concept de ramification. Le texte offre des démonstrations complètes et détaillées, et donne, afin d'épargner au lecteur la consultation permanente d'autres ouvrages, tous les outils annexes nécessaires : algébriques, analytiques et topologiques ; ce qui le distingue d'autres monographies plus spécialisées.
Le livre se termine par une étude fouillée de l'équation de Halphen, qui réalise la synthèse de toutes les idées présentées. Bien que constituant la suite logique des deux premiers tomes, ce tome 3 en est largement indépendant.
Cet ouvrage contient nombre de résultats majeurs que l'on trouve rarement prouvés en détail dans un volume unique, comme par exemple le théorème des résidus algébrique, le théorème de séparation des surfaces de Riemann complexes compactes ou la version la plus générale du théorème de Van Kampen. En outre, il propose au lecteur, dans un cadre élémentaire, une introduction au langage géométrique, axée sur les courbes algébriques planes.
SOMMAIRE
Chapitre XXII – Fractions rationnelles, fonctions algébriques : 22.1 – Transcendance 22.2 – Dérivations 22.3 – Fractions rationnelles
Chapitre XXIII – Ramification des corps de fonctions algébriques d'une variable : 23.1 – Valuations 23.2 – Compléments d'algèbre commutative 23.3 – Valuations des corps de fonctions algébriques d'une variable 23.4 – Fonctions algébriques et théorie de Galois
Chapitre XXIV – Le genre : 24.1 – Extension de scalaires 24.2 – Diviseurs 24.3 – Dérivations et différentielles 24.4 – Théorème des résidus algébrique 24.5 – Le théorème de Riemann-Roch
Chapitre XXV – Surfaces de Riemann complexes : 25.1 – Revêtements 25.2 – La notion de surface de Riemann complexe 25.3 – Surfaces de Riemann algébriques 25.4 – Théorèmes de séparation 25.5 – Le théorème de Riemann 25.6 – Surfaces de Riemann et revêtements
Chapitre XXV1 – Surfaces de Riemann et théorie de Galois : 26.1 – Groupe fondamental et produits libres 26.2 – Théorème de Calois inverse continu
Chapitre XXVII – Surfaces de Riemann et courbes planes : 27.1 – Notions sur les espaces projectifs 27.2 – Hypersurfaces algébriques 27.3 – Points réguliers, points singuliers 27.4 – Lien entre l'affine et le projectif 27.5 – Courbes algébriques planes irréductibles 27.6 – Classification des cubiques projectives non singulières 27.7 – Compléments sur la droite projective 27.8 – Corps de genre zéro 27.9 – Courbes planes et surfaces de Riemann
Chapitre XXVIII – Groupes polyédraux et équation de Halphen : 28.1 – Fractions rationnelles et théorie de Galois 28.2 – L'équation de Halphen