The spectrum of hyperbolic surfaces

Cet ouvrage est une introduction a la theorie spectrale du laplacien sur les surfaces hyperboliques (de courbure 1), compactes ou d'aire finie. Pour certaines de ces surfaces, dites - surfaces hyperboliques arithmetiques -, les fonctions propres sont des objets de nature arithmetique et des outils d'analyse sont employes conjointement a des methodes puissantes de theorie des nombres pour les etudier. Apres une introduction a la geometrie hyperbolique des surfaces insistant sur celles qui sont arithmetiques, puis une introduction aux methodes d'analyse spectrale de l'operateur de Laplace sur celles- ci, l'auteur developpe l'analogie geometrie (geodesiques fermees) - arithmetique (nombres premiers) en demontrant la formule des traces de Selberg. Outre des applications importantes a l'arithmetique, l'auteur propose des applications a la statistique spectrale de l'operateur de Laplace et a la propriete d'unique ergodicite quantique (theoreme d'unique ergodicite quantique arithmetique, recemment demontre par Elon Lindenstrauss). L'ouvrage, issu de plusieurs cours de M2 a Orsay et a l'Universite P. & M. Curie, permet au lecteur de parcourir un champ mathematique classique et d'etre conduit vers des domaines de recherche tres actifs.