整体微分几何初步

《整体微分几何初步(第3版)》是作者长期从事微分几何基础教学的产物，主要采用外微分形式和活动标架法，介绍欧氏空间曲线和曲面的某些整体性质。内容包括：E3中曲线和曲面的局部概论；活动标架法；曲线的整体微分几何；E3中曲面的整体微分几何；曲面的内蕴几何；高维欧氏空间的超曲面：Finsler几何中的某些变分计算。另有两个附录：欧氏空间点集拓扑概要；曲面的拓扑分类。书中介绍了整体微分几何的许多基本概念和方法技巧，既论述经典理论，也兼顾近代进展，并包含了丰富的微分几何参考文献，使读者在学完《整体微分几何初步(第3版)》后，能独立进行整体微分几何的某些研究。《整体微分几何初步(第3版)》可作为高等院校数学系学生及研究生的教材，也可供数学和物理工作者参考。第0章E3中曲线和曲面的局部概论§1E3中的曲线1.1曲线的表示1.2曲线的Frenet标架曲率和挠率1.3曲线论的基本公式和基本定理§2E3中的曲面2.1曲面的表示2.2曲面上的活动标架第一基本形式2.3长度、角度和面积元2.4常见曲面§3曲面上的曲率3.1曲面的第二基本形式3.2wreingarten变换主曲率3.3Gauss曲率平均曲率曲率线3.4Gauss映射第三基本形式§4曲面的局部理论4.1自然标架的基本公式4.2测地曲率测地线4.3法坐标与测地极坐标第一章活动标架法§1幺正标架1.1幺正标架1.2双参数下的外乘法与外微分1.3幺正标架的运动方程§2外微分形式2.1外代数2.2外微分形式2.3外微分2.4微分形式的积分§3可积系统3.1E3的结构方程3.2Frobenius定理§4曲线和曲面的基本定理4.1曲线论基本定理4.2用活动幺正标架研究曲面4.2.1联络与第二基本形式4.2.2测地曲率的Liouville公式4.2.3Gauss美妙定理4.3曲面论基本定理第二章曲线的整体微分几何§1平面曲线的某些整体性质1.1等周不等式1.2曲线的旋转指标1.2.1映射的度数1.2.2旋转指标定理1.3凸闭曲线§2空间曲线的某些整体性质2.1球面上的Crofton公式2.2空间曲线的全曲率2.3空间曲线的全挠率第三章E3中曲面的整体微分几何§1曲面的Gauss—Bonnet公式1.1曲面的整体描述1.2Gauss-Bonnet公式§2Liebmann定理2.1球面的刚性2.2两个引理2.3Liebmann定理的证明§3凸曲面和积分公式3.1凸曲面的Hadamard定理3.2Cohn-Vossen定理3.3Minkowski积分公式§4Mink：OWSki问题和Christoffel问题的唯一性4.1概述4.2基本公式4.3Minkowski问题的唯一性4.4Christoffel问题的唯一性§5全平均曲率与willmore猜想5.1全平均曲率5.2球面的一个特征5.3环面的全平均曲率5.4Fenchel定理§6常负曲率曲面和Backlund变换6.1常负曲率曲面和SG方程6.2伪球线汇和焦曲面6.3Backlund变换§7Hilbert定理7.1负曲率曲面上的渐近线网7.2常负曲率完备曲面上的整体渐近线网7.3定理的证明§8Hartman—Nirenberg定理8.1预备引理